在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于D点,连接BD、CD、CE,且∠BDA=60° ①求证:△BDE是等边三角形; ②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你
问题描述:
在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于D点,连接BD、CD、CE,且∠BDA=60°
①求证:△BDE是等边三角形;
②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想;
③在②的条件下当CE=4时,求四边形ABDC的面积.
答
①证明:如图,在圆中∠ACB=∠BDA=60°,
∴∠ABC+∠BAC=120°,
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线,
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=
(∠ABC+∠BAC)=60°,1 2
∴△BDE是等边三角形.
②四边形BDCE是菱形.
证明:∵∠BDC=120°,∠BDA=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线,△BDE是等边三角形,
∴BF平分∠EBD,且BC垂直平分DE,
∵∠BDF=∠CDF,∠BFD=∠CFD,DF=DF,
∴△BFD≌△CFD,
∴BF=CF,
∴DE垂直平分BC,
因此四边形BDCE是菱形.
③由∠ABC=∠ADC=60°,∠ACB=∠ADB=60°,AE是∠BAC的角平分线,
可得∠CAD=30°,AD为圆的直径,CD=CE=4,
∴AD=2CD=8,AC=4
3
因此S四边形ABDC=2×(4×4
×
3
)=161 2
.
3