椭圆内接矩形的最大面积,怎么求?
问题描述：
椭圆内接矩形的最大面积,怎么求?
答
设矩形在第一象限的一顶点的坐标(x,y).
则其面积为S=4xy.
由不等式:a>0,b>0时a+b>=2根号(a*b)
等号当且仅当a=b时成立.
S=4xy=2*2xy=2*根号[(4x^2)*y^2]
<=[(4x^2)+y^2]=4
知面积最大值为4.
且当4x^2=y^2时,即x=(根号2)/2,y=2时的矩形面积最大.
答
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0),则(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2
再设矩形在第一象限的顶点为P(x,y)
故S=4xy
得S=(2/ab)[2(bx)(ay)]≤(2/ab)[(bx)^2+(ay)^2]=2ab
当且仅当y/x=b/a时取等号
故S最大=2ab