证明:对任意两个不相等的正数a,b,不等式a+b>2√ab总成立.

问题描述:

证明:对任意两个不相等的正数a,b,不等式a+b>2√ab总成立.

证明a+b>2√ab成立需证 (a+b)²>4ab 移项得a²+b²>2ab 欲证a+b>2√ab改正 a²+b²>2ab 移项a²+b²-2ab=0 (a-b)²=0因为a不等于b所以 (a-b)²>0故a+b>2√ab

因为a,b是正数,所以√a,√b有意义。
又因为a,b不相等,所以√a,√b不相等,所以√a-√b≠0
所以(√a-√b)的平方=√a的平方+√b的平方-2√ab
=a+b-2√ab
>0
所以a+b>2√ab

a+b>2√ab
a²+2ab+b²>4ab
a²+b²>2ab
基本不等式 成立
所以原不等式 成立

(√a-√b)²>0,展开即可