已知定义在区间(-1,1)内的奇函数f(x)是减函数,若f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的范围.

问题描述:

已知定义在区间(-1,1)内的奇函数f(x)是减函数,若f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的范围.

根据题意,∵f(1-m)+f(1-m2)<0,
∴f(1-m)<-f(1-m2),
又∵f(x)是奇函数,则-f(1-m2)=f(m2-1),
∴f(1-m)<f(m2-1),
又∵f(x)是减函数,
∴有1-m>m2-1;
又∵函数的定义域为(-1,1);
∴-1<1-m<1,-1<1-m2<1;
综合有

−1<1−m<1
−1<1−m2<1
1−m>m2−1
,解可得0<m<1;
故m的取值范围为(0,1).
答案解析:根据题意,将f(1-m)+f(1-m2)<0变形为f(1-m)<-f(1-m2),又因为f(x)是奇函数,原不等式又可变形为f(1-m)<f(m2-1),结合f(x)是减函数,可得1-m>m2-1;再由函数的定义域为(-1,1),可得-1<1-m<1,-1<1-m2<1;综合可得不等式
−1<1−m<1
−1<1−m2<1
1−m>m2−1
,解可得m的取值范围,即得答案.
考试点:奇偶性与单调性的综合.
知识点:本题考查奇偶性与单调性的综合,解答的易错点为忽略函数的定义域,而只解“1-m>m2-1”一个方程.