已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．（ I）求实数a，b，c的值；（ II）设函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间．
问题描述：
已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（ I）求实数a，b，c的值；
（ II）设函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间．
答
知识点：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
（ I）由题设知：
⇒
f(2)＝0 g(2)＝0
f′(2)＝g′(2)
⇒
16+2a＝0 4b+c＝0 24+a＝4b
a＝−8 b＝4 c＝−16
实数a，b，c的值分别为：-8，4，-16．
（ II）F（x）=2x3+4x2-8x-16F′（x）=6x2+8x-8
令F′（x）=6x2+8x-8＞0得x＞
或x＜-22 3
令F′（x）=6x2+8x-8＜0得−2＜x＜
2 3
所以F（x）递增区间为(−∞，−2)，(
，+∞)2 3
递减区间为(−2，
)．2 3
答案解析：（I）欲求实数a，b，c的值，只须求出切线斜率的值，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用斜率相等及都过点P列出等量关系，从而问题解决．
（II）欲求函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间，利用导数来解决．先求出F（x）的导数，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可．
考试点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．