limx->a f(x)-f(a)/(x-a)^2=1/4,求证f(a)为极小值.

问题描述:

limx->a f(x)-f(a)/(x-a)^2=1/4,求证f(a)为极小值.

limx->a f(x)-f(a)/(x-a)^2=1/4?
limx->a [f(x)-f(a)]/(x-a)^2=1/4?
limx->a f(x)=(x-a)^2/4+f(a)>=f(a)

∵lim(x→a) (x-a)²=0
且lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)²=1/4
∴lim(x→a) f(x)-f(a)=0
用L'Hospital法则,分子分母同时对x求导
lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)²=lim(x→a) f'(x)/[2(x-a)]=1/4
又∵lim(x→a) 2(x-a)=0
∴lim(x→a) f'(x)=0
即f'(a)=0
∴f(a)为极值点
再用L'Hospital法则,分子分母同时对x求导
lim(x→a) f'(x)/[2(x-a)]=lim(x→a) f''(x)/2=1/4
∴f''(x)=1/2>0
∴f(a)为极小值