设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1．试证：必存在ξ∈（0，3），使f′（ξ）=0．
问题描述：
设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1．
试证：必存在ξ∈（0，3），使f′（ξ）=0．
答
知识点：介值定理、微分中值定理（费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理）与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考．本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形．
因为f（x）在[0，3]上连续，所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，故：m≤f(0)+f(1)+f(2)3≤M，由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使...
答案解析：根据罗尔定理，只需再证明存在一点c∈[0，3），使得f（c）=1=f（3），然后在[c，3]上应用罗尔定理即可．
条件f（0）+f（1）+f（2）=3等价于
＝1，问题转化为1介于f（x）的最值之间，最终用介值定理可以达到目的．f(0)+f(1)+f(2) 3
考试点：用罗尔定理判断导函数根的存在问题；介值定理及其推论的运用．
知识点：介值定理、微分中值定理（费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理）与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考．本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形．