已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．（1）求f（-1），f（2.5）的值；（2）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[-3，3]上的单调性；（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．
问题描述：
已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[-3，3]上的单调性；
（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．
答
知识点：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，体现了换元的思想、分类讨论的数学思想，求f（x）在[-3，3]上的表达式是本题的难点和易错点．
（1）由题意可得 f（-1）=kf（1）=-k，∵f（0.5）=k f（2.5），∴f（2.5）=1kf(0.5)＝1k(0.5−2)×0.5＝−34k．（2）对任意实数x，f（x）=kf（x+2），∴f（x-2）=kf（x），∴f（x）=1kf（x-2）．当-2≤x＜0时...
答案解析：（1）利用f（-1）=kf（1），由 f（0.5）=k f（2.5），得到f（2.5）=
f（0.5）=1 k
（0.5-2）•0.5．1 k
（2）有条件可得f（x）=
f（x-2），当-2≤x＜0时，-3≤x＜-2时，分别求出f（x）的解析式，1 k
从而得到f（x）在[-3，3]上的表达式，通过表达式研究单调性．
（3）由（2）中函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，在x=-3或x=1处取最小值，在x=-1或x=3处取最大值．
考试点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
知识点：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，体现了换元的思想、分类讨论的数学思想，求f（x）在[-3，3]上的表达式是本题的难点和易错点．