直三棱柱的底面边长分别为3、4、5,高为6,将这个直三棱柱削成圆柱,求削去部分体积最小值

这个问题也就求三棱柱中能容纳的圆柱体的最大体积。
我认为，当这个圆柱的一个端面和棱柱的一个表面重合时，能取到的体积是最大的（没有严格证明，，只是觉得比斜着塞进去大）
如果上述假设成立的话，那么有4种可能：345面作为端面，36和对应斜边作为端面，46和对应斜边作为端面，5和另两条斜边作为端面。
以345面作为端面的话，可以计算出345面容纳的最大圆半径=3*4/(3+4+5)=1,若取得圆柱高为h，把高于h部分棱柱削掉，出现的那个平面就是圆柱的上端面。那么根据相似原理，上端面所能容纳的最大圆半径为(6-h)/6*1=1-h/6。
那么这个圆柱的体积就是pi*h*(1 - h/6)^2，容易求得，当h=2时，这种取法的圆柱体积最大，为8pi/9.
其他几种情况的求法类似（不过都是斜边的那种计算会麻烦些），所求得的四个最大值中的最大值，就是能取得圆柱最大体积。用棱柱体积减去就得到削去部分体积。
或者可以认为，都是斜边的那一面作为端面，所能容纳的体积肯定最大，因为那个面的面积最大，所能取得圆半径比较大，尽管对应的高度比较低，但是半径是平方项，作用肯定比高度重要，所以你可以直接去计算那个面作为端面的圆柱体体积。虽然没有证明，但那个应该就是最大体积了。

1,边长3的：内接圔半径=√ 3/2=0,866削去部分体积最小值=(3x0,866x3)/2x6-0,866 ²π x6 =23,282-14,136=9,1462,边长4的：内接圔半径=2/0,866/2=1,1547削去部分体积最小值...