已知数列{an}成等差数列,Sn表示它的前n项和,且a1+a3+a5=6,S4=12.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)数列{anSn}中,从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数?

问题描述:

已知数列{an}成等差数列,Sn表示它的前n项和,且a1+a3+a5=6,S4=12.
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)数列{anSn}中,从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数?

(1)∵数列{an}成等差数列,且a1+a3+a5=6,S4=12,

a1+a1+2d+a1+4d=6
4a1+
4×3
2
d=12

∴a1=6,d=-2,
∴an=6+(n-1)×(-2)=8-2n.
(2)∵a1=6,d=-2,
Sn=6n+
n(n−1)
2
×(−2)
=(7-n)n,
∵an=8-2n,
∴0<n<4时,an>0,Sn>0,
4<n<7时,an<0,Sn>0,
n>7时,an<0,Sn<0.
故n≥8时,anSn>0.
故数列{anSn}中,从第8项开始(含此项)以后各项均为正整数.
答案解析:(1)由数列{an}成等差数列,且a1+a3+a5=6,S4=12,根据等差数列的通项公式和前n项和公式,列出方程组,求出a1=6,d=-2,由此能求出数列{an}的通项公式an
(2)由a1=6,d=-2,得Sn=6n+
n(n−1)
2
×(−2)
=(7-n)n,由n的取值进行分类讨论,能求出数列{anSn}中,从第向项开始(含此项)以后各项均为正整数.
考试点:数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的性质;等比数列的性质.
知识点:本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.