如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.(1)求EG的长;(2)求证:CF=AB+AF.

问题描述:

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.

(1)求EG的长;
(2)求证:CF=AB+AF.

(1)∵BD⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DBC=45°=∠DCB,∴BD=CD=2,在Rt△BDC中BC=DB2+CD2=22,∵CE⊥BE,∠BEC=90°,∵点G为BC的中点,∴EG=12BC=2(直角三角形斜边上中线的性质).答:EG的长是2.(2)证明:在线段CF...
答案解析:(1)根据BD⊥CD,∠DCB=45°,得到∠DBC=∠DCB,求出BD=CD=2,根据勾股定理求出BC=2

2
,根据CE⊥BE,点G为BC的中点即可求出EG;
(2)在线段CF上截取CH=BA,连接DH,根据BD⊥CD,BE⊥CD,推出∠EBF=∠DCF,证出△ABD≌△HCD,得到CD=BD,∠ADB=∠HDC,根据AD∥BC,得到∠ADB=∠DBC=45°,推出∠ADB=∠HDB,证出△ADF≌△HDF,即可得到答案.
考试点:梯形;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.

知识点:本题主要考查对梯形,全等三角形的性质和判定,平行线的性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用性质进行推理是解此题的关键.