设α,β是方程4X的平方 - 4mx+m+2=0的两个实根,m为何值时,α的平方+β的平方有最小值?并求出该最小值
问题描述：
设α,β是方程4X的平方 - 4mx+m+2=0的两个实根,m为何值时,α的平方+β的平方有最小值?并求出该最小值
答
α，β是方程4X的平方 - 4mx+m+2=0的两个实根，
则α+β = -（-4m）/4=m
α×β=（2+m）/4
α²+β²=（α+β）²-2αβ=m²-2×（2+m)×1/4=m²-1/2 m-1=（m-1/4）²-17/16
当m=1/4时有最小值，为0-17/16= -17/16
答
由根与系数关系α+β=m,αβ=(m＋2)/4
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-(m＋2)/2=m^2-m/2-1=(m-1/4)^2-17/16
所以m=-1/4时,α^2+β^2有最小值-17/16
α,β是方程4x的平方-4mx+m+2=0的两个实数根
⊿=16m²-4*4(m+2)≥0,m≥2,m≤-1
由韦达定理：α+β=m,αβ=(m＋2)/4
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-(m＋2)/2=m^2-m/2-1=(m-1/4)^2-17/16
对称轴m=1/4,所以当m=-1时,
α^2+β^2有最小值为 1/2
,楼上答案是错的!