如图,PA切⊙O于A,PBC过圆心O,交⊙O于B、C,CD⊥PA于D,交⊙O于点E.(1)求证:CA平分∠BCD.(2)若DC=6,AC=43,求⊙O的半径.(3)作AG⊥BC于G,连接AB、DG,判断AB与DG的位置关系,并证明.
如图,PA切⊙O于A,PBC过圆心O,交⊙O于B、C,CD⊥PA于D,交⊙O于点E.
(1)求证:CA平分∠BCD.
(2)若DC=6,AC=4
,求⊙O的半径.
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(3)作AG⊥BC于G,连接AB、DG,判断AB与DG的位置关系,并证明.
(1)证明:连接OA,∵PD切⊙O于A,∴OA⊥PD,∵CD⊥PD,∴∠PAO=∠PDC=90°,∴OA∥CD,∴∠OAC=∠ACD,在⊙O中,OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACD=∠OCA,∴CA平分∠BCD;  ...
答案解析:(1)连接OA,由PD为圆的切线,利用切线的性质得到PD与OA垂直,再由CD与PD垂直,确定出OA与CD平行,利用两直线平行得到一对内错角相等,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对角相等,即CA为角平分线;
(2)连接AB,由CA为角平分线,得到一对角相等,再由BC为直径,利用直径所对的圆周角为直角得到一对直角相等,利用两对角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形ACD相似,由相似得比例,将DC与AC的值代入计算即可求出BC的长,进而确定出圆的半径;
(3)AB与DG平行,理由为:过A作AG垂直于BC,连接DG,由CA为角平分线得到一对角相等,再由一对直角相等,AC为公共边,利用AAS得到三角形ACD与三角形ACG全等,利用全等三角形对应边相等得到AD=AG,AC为角平分线,利用三线合一得到AC与DG垂直,再由BA与AC垂直,得到一对直角相等,利用同位角相等两直线平行即可得到AB与DG平行.
考试点:切线的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
知识点:此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,平行线的判定与性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.