已知,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,∠ADB=60°,E、F、G分别是OA、OB、CD的中点,判断△EFG的形状,并说明理由.

问题描述:

已知,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,∠ADB=60°,E、F、G分别是OA、OB、CD的中点,判断△EFG的形状,并说明理由.

证明:连接DE、CF,如图,
∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),
∴AB=DC,OA=OD,OB=OC,
∵∠ADB=60°,
∴△OBC和△OAD都为等边三角形,
∵E、F分别为OA、OB的中点,
∴DE⊥OA,CF⊥OB,
在Rt△CDE中,
∵点G为斜边CD的中点,
∴EG=

1
2
CD,
同理可得FG=
1
2
CD,
∵E、F分别为OA、OB的中点,
∴EF为△OAB的中位线,
∴EF=
1
2
AB,
∴EF=
1
2
CD,
∴EF=EG=FG,
∴△EFG为等边三角形.
答案解析:连接DE、CF,如图,先根据等腰梯形的性质得AB=DC,OA=OD,OB=OC,再由∠ADB=60°可判断△OBC和△OAD都为等边三角形,则根据等腰三角形的性质由E、F分别为OA、OB的中点得到DE⊥OA,CF⊥OB,接着根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=
1
2
CD,FG=
1
2
CD;然后利用三角形中位线性质得到EF=
1
2
AB=
1
2
CD,所以EF=EG=FG,于是可判断△EFG为等边三角形.
考试点:等腰梯形的性质.
知识点:本题考查了等腰梯形的性质:等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过上下底的中点的直线;等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等.也考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线性质和直角三角形斜边上的中线性质.