如图,已知△ABC是锐角三角形,分别以AB、AC为边向外侧作两个等边三角形△ABM和△CAN,D、E、F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE、FE,求证:DE=EF.
问题描述:
如图,已知△ABC是锐角三角形,分别以AB、AC为边向外侧作两个等边三角形△ABM和△CAN,D、E、F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE、FE,求证:DE=EF.
答
证明:连接MC、BN,
∵△ABM和△CAN是等边三角形,
∴∠BAM=∠CAN=60°,MA=BA,AN=AC
∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC,
即∠MAC=∠BAN,
在△MAC与△BAN中,
,
MA=BA ∠MAC=∠BAN AN=AC
∴△MAC≌△BAN(SAS),
∴MC=NB,
∵D、E、F分别是MB,BC,CN的中点,
∴DE=
MC,EF=1 2
BN,1 2
∴DE=EF.
答案解析:连接MC、BN,证明△MAC与△BAN全等,可得MC=BN.再通过三角形的中位线定理可证DE、EF分别是MC、BN的一半,从而可得DE=EF.
考试点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;三角形中位线定理.
知识点:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及等边三角形的性质,三角形的中位线定理,关键是证明MC=BN.