在△ABC中,AB=AC AD⊥BC于D,点P在BC上,PE⊥BC交BA的延长线与E,交AC于F.求证:2AD=PE+pF 最好能详细点
问题描述：
在△ABC中,AB=AC AD⊥BC于D,点P在BC上,PE⊥BC交BA的延长线与E,交AC于F.求证:2AD=PE+pF 最好能详细点
答
证明：
作MC⊥BC,交BE延长线于M，作EN⊥MC于N
这样，四边形PCNE为矩形，EN=PC, PE=CN, EN//BC
∴∠MEN=∠B,∵AB=AC∴∠B=∠ACB
∴∠MEN=∠FCP
∴⊿MEN≌⊿FCP(AAS)
∴MN=PF
∴MC=PF+PE
∵AD⊥BC,⊿ABC为等腰三角形
∴BD=DC
∵AD//MC(AD,MC都⊥BC)
∴AD:MC=BD:BC=1:2
∴2AD=MC
即2AD=PE+PF
答
作AG⊥PF于G
∵AD⊥BC PE⊥BC
∴ADPG是长方形
∴AD=PG
∵PE⊥BC PE⊥AG
∴AG∥BC
∴∠B=∠EAG ∠C=∠FAG
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠EAG=∠FAG
∵∠AGE=∠AFG AG=AG
∴△AEG ≌△AFG
∴EG=FG
∵PE=PG+EG=AD+EG
又∵PF=PG-FG=AD-EG
∴PE+PF=2AD