已知方程3x^2-5x-11=0,不解方程求作一个一元二次方程,使它的根是原方程各根平方的倒数
问题描述：
已知方程3x^2-5x-11=0,不解方程求作一个一元二次方程,使它的根是原方程各根平方的倒数
答
设原方程的根为x1,x2, x1+x2=5/3, x1x2=-11/3
新方程的根为y1,y2,
y1+y2=1/x1²+1/x2²=(x1²+x2²)/(x1x2)²=[(x1+x2)²-2x1x2]/(x1x2)²=[25/9+22/3]/(121/9)=91/121
y1y2=(x1x2)²=121/9
所以新方程为y²-91y/121+121/9=0
答
由题可得：X1=1/x1^2,X2=1/x2^2,则两根之和=X1+X2=1/x1^2 + 1/x2^2=(x1^2 +x2^2)/(x1*x2)^2
=[(x1+x2)^2-2x1*x2]/(x1*x2)^2,
由3x^2-5x-11=0和根与系数的关系可得：
x1+x2=-b/a=5/3,x1*x2=c/a=-11/3
所以：代入[(x1+x2)^2-2x1*x2]/(x1*x2)^2得：
X1+X2=91/121
同理：X1*X2=1/(x1*x2)^2=9/121.
所以该一元二次方程为：
X^2-(91/121)X+9/121=0.