数学——三角函数的恒等变换设0<x<π,则函数y=(2-cosx)/sinx的最小值是( )要求分析过程

问题描述:

数学——三角函数的恒等变换
设0<x<π,则函数y=(2-cosx)/sinx的最小值是( )要求分析过程

它表示点(0,2)和点(-SINX,COSX)之间的斜率,点(-SINX,COSX)表示单位圆在第二,三象限的部分,当直线相切时最小,所以最小为根号3

令t=x/2,则0(2-cosx)/sinx=(1+2(sint)^2)/(2sintcost)=(3(sint)^2+(cost)^2)/(2sintcost)=(3(tant)^2+1)/2tant(分子上下同除以(cost)^2),令tant=y,则原式=(3y^2+1)/2y=3y/2+1/y(y>0)
由a+b≥2根号(ab)可知最小值为2根号(3y/2*1/y)=2*根号3/2=根号3