如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC交AC于E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若⊙O与AC相切于F,AB=AC=5cm,sinA=35,求⊙O的半径的长.

问题描述:

如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC交AC于E.

(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O与AC相切于F,AB=AC=5cm,sinA=

3
5
,求⊙O的半径的长.

证明:(1)连接OD,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC.
又DE⊥AC,
∴DE⊥OD.
∴DE是⊙O的切线.
(2)⊙O与AC相切于F点,连接OF,
则:OF⊥AC.
在Rt△OAF中,sinA=

OF
OA
3
5

∴OA=
5
3
OF,
又AB=OA+OB=5,
5
3
OF+OF=5.
∴OF=
15
8
cm.
答案解析:(1)根据切线的判定定理,只需连接OD,证明OD⊥DE.已知DE⊥AC,故利用同位角相等,两条直线平行就可证明;
(2)根据切线的性质定理,连接过切点的半径,运用锐角三角函数的定义,用半径表示OA的长,再根据AB的长列方程求解.
考试点:圆的切线的性质定理的证明.
知识点:此题主要考查了圆的切线的性质定理的证明,综合运用了切线的判定和性质,熟练运用锐角三角函数的定义表示出两条边之间的关系.