F1F2为双曲线x²/4－y²=-1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,求三角形F1PF2面积
问题描述：
F1F2为双曲线x²/4－y²=-1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,
求三角形F1PF2面积
答
x²/4－y²=-1
y^2-x^2/4=1
a=1 b=2 c=√5
所以焦点坐标是F1(0,-√5),F2(0,√5)
设点P坐标是(x,y)
则
Kpf1=(y+√5)/x
Kpf2=(y-√5)/x
因为∠F1PF2=90°
所以
Kpf1*Kpf2=(y+√5)/x *(y-√5)/x=-1
y^2-5=x^2
x^2+y^2=5
所以可以重设点P坐标为(√5cost,√5sint)
代入双曲方方程得
(√5sint)^2-(√5cost)^2/4=1
5sin^2 t -5cos^2 t /4=1
20sin^2 t -5cos^2 t=4
20sin^2 t -5(1-sin^2 t)=4
20sin^2 t -5+5sin^2 t=4
25sin^2 t=9
sint=±3/5
所以点P的纵坐标是yp=√5sint=±3√5/5
所以三角形F1PF2面积=1/2*|F1F2|*|yp|
=1/2*2√5*3√5/5
=3