已知a>0,b>0,M=max{a,b,1/a+4/b},则M的最小值为 答案为根号5.运用的是高中的不等式
问题描述：
已知a>0,b>0,M=max{a,b,1/a+4/b},则M的最小值为 答案为根号5.运用的是高中的不等式
特别是系数的配凑和取等号的条件,希望能说的明白点.
答
这个问题不涉及系数配凑,主要是考察清晰的逻辑思维.解析如下.
如果a=5/b,(1)
且M=max{b,1/a+4/b}.(2)
由(1)(2)知
min M=min(max{b,5/b}).
之后可以通过代数地讨论b与5/b哪个大来求min M.
也可以如下直观思考：b和5/b可看成是函数xy=5的横坐标和纵坐标,现在希望较大的那个坐标尽量小.由函数图像显见只有在x=y的时候这个大坐标达到最小值,也就是b=5/b=sqrt{5}.
如果a>=b,则1/a+4/b>=5/a,(3)
且M=max{a,1/a+4/b}.(4)
由(3)(4)知
min M=min(max{a,5/a}).
同理可得min M=sqrt{5}.那假如要用基本不等式来解呢？我提供的这个解答用的就是基本不等式。