已知函数f（x）=x+1/x． （1）判断f（x）的奇偶性并说明理由； （2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．
问题描述：
已知函数f（x）=x+
．1 x
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．
答
（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）=−x+
＝−(x+1 −x
)＝−f(x)1 x
∴函数f（x）=x+
为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数1 x
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
0＜x1＜x2≤1，则0＜x1x2＜1，x1-x2＜0
∴f(x1)−f(x2)＝(x1−x2)+(
−1 x1
)1 x2
=(x1−x2)+(
)=
x2−x1
x1x2
＞0(x1−x2)(x1x2−1)
x1x2
即f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数