设f(0)=0,f(x)的二阶导数在x=0的某邻域连续,求U=f(1/n^2)+f(2/n^2)+…f(n/n^2)在n趋于无穷时的极限.
问题描述：
设f(0)=0,f(x)的二阶导数在x=0的某邻域连续,求U=f(1/n^2)+f(2/n^2)+…f(n/n^2)在n趋于无穷时的极限.
答
f(x)=f(0)+xf'(0)+(x²/2)f''(η)其中 η在0和x之间
f(1/n^2)+f(2/n^2)+…f(n/n^2)=nf(0)+[(1+2+...+n)/n²]f'(0)+(1/2)∑(k²f''(ηk) /n^4)
=(1+1/n)f'(0)+∑k²f''(ηk) ]/(2n^4)
|∑k²f''(ηk) ]/(2n^4)||f''(0)|(n+1)(2n+1)/(2n³) --->0
所以limU=f'(0)谢谢了不过倒数第二行的趋近于是怎么来的啊？还有limU=f'(0)又等于什么呢？也就是说f'(0)又怎么求啊？max|f''(ηk)| -->|f''(0)|注意到任何ηk有 0+无穷大时 ηk->0f''连续，所以有|f''(ηk)| -->|f''(0)|max|f''(ηk)| -->|f''(0)|00 和式中仅剩中间一项(1+1/n)f'(0)-->f'(0)