解方程 sin^2*(3x)+sin^5*(5)x+sin^2*(7x)+sin^2*(9x)=2

问题描述:

解方程 sin^2*(3x)+sin^5*(5)x+sin^2*(7x)+sin^2*(9x)=2
能看懂吧,sin^2的平方
都是sin平方,上面打错了 解方程 sin^2*(3x)+sin^2*(5x)+sin^2*(7x)+sin^2*(9x)=2

第一步,二倍角公式cos2@=1-2sin²@
2-(1/2)(cos6x+cos10x+cos14x+cos18x)=2
得cos6x+cos18x+cos10x+cos14x=0
第二步,和差化积
2cos12xcos6x+2cos12xcos2x=0
得cos12x(cos6x+cos2x)=0
再次和差化积
得cos12x(2cos4xcos2x)=0
即cos2xcos4xcos12x=0
于是2x=kπ+π/2,或4x=kπ+π/2,或12x=kπ+π/2
x=(2k+1)π/4,一个周期内的解为π/4=(6/24)π,(3/4)π=(18/24)π,(5/4)π=(30/24)π,(7/4)π=(42/24)π
x=(2k+1)π/8,一个周期内的解为π/8=(3/24)π,(3/8)π=(9/24)π,(5/8)π=(15/24)π……(15/8)π=(45/24)π,
x=(2k+1)π/24,这一组解为π/24,3π/24,5π/24……47π/24【于是发现第二组解包含在本组之内】
于是x的解为x=(2k+1)π/4或
x=(2k+1)π/24,k∈Z