求微分方程y'=x^2/(1+y^2) 和极限 limx->∞(√(x^2+3x)-√(x^2+1)) 要求解过程
问题描述：
求微分方程y'=x^2/(1+y^2) 和极限 limx->∞(√(x^2+3x)-√(x^2+1)) 要求解过程
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答
1.求解微分方程y'=x²/(1+y²)
∵y'=x²/(1+y²)
==>(1+y²)dy=x²dx
==>y+y³/3=x³/3+C(C是积分常数)
∴原方程得通解是y+y³/3=x³/3+C(C是积分常数)
2.lim(x->∞)(√(x²+3x)-√(x²+1))=?
原式=lim(x->∞)(((x²+3x)-(x²+1))/(√(x²+3x)+√(x²+1))) (有理化分子)
=lim(x->∞)((3x-1)/(√(x²+3x)+√(x²+1)))
=lim(x->∞)((3-1/x)/(√(1+3/x)+√(1+1/x²)))(分子分母同除x)
=(3-0)/(√(1+0)+√(1+0))
=3/2.