如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于G，DE∥AB交AC于E． （1）求证：AE=CE； （2）作∠BCA的平分线CF交AD于P，交AB于F，求证：∠PCD=1/2∠B； （3）在（2）的条件下，
问题描述：
如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于G，DE∥AB交AC于E．
（1）求证：AE=CE；
（2）作∠BCA的平分线CF交AD于P，交AB于F，求证：∠PCD=
∠B；1 2
（3）在（2）的条件下，若∠B=60°，求证：AF+GC=AC．
答
证明：（1）延长CD，交AB的延长线于H，
∵AD⊥CH，即∠ADC=∠ADH=90°，∠HAD=∠CAD，
∴∠H=∠ACH，
∴AH=AC，即△ACH为等腰三角形，
∴CD=DH，
∵DE∥AH，
∴AE=CE；
（2）连接HP，HG，
∵AD为HC的垂直平分线，
∴∠AHP=∠ACP，
∵∠CFH为公共角，
∴△HFP∽△CFB，
∴∠FPH=∠CBF，
∵CP=HP，
∴∠FPH=∠PCD+∠PHD=2∠PCD，
∴∠PCD=
∠CBF；1 2
（3）由（2）得：∠PCD=30°=∠PHD，
∴∠CPD=∠HPD=60°，
∵CF为∠ACB的平分线，
∴HP为∠FHG的平分线，
在△HFP和△HGP中，
，
∠FHP＝∠GHP HP＝HP ∠HPF＝∠HPG＝60°
∴△HFP≌和△HGP（ASA），
∴HG=HF=CG，
则CG+AF=HF+AF=AH=AC．