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已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．

分类: 作业答案 • 2022-03-24 08:31:23

问题描述：

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

答

（1）证b₁=a₂-a₁=1，
当n≥2时，bn＝an+1−an＝

an−1+an

2

−an＝−

1

2

(an−an−1)＝−

1

2

bn−1，
所以{b_n}是以1为首项，−

1

2

为公比的等比数列．
（2）解由（1）知bn＝an+1−an＝(−

1

2

)n−1，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=1+1+（-

1

2

）+…+(−

1

2

)n−2
=1+

1−(−

1

2

)n−1

1−(−

1

2

)

=1+

2

3

[1−(−

1

2

)n−2]=

5

3

−

2

3

(−

1

2

)n−1，
当n=1时，

5

3

−

2

3

(−

1

2

)1−1＝1＝a1．
所以an＝

5

3

−

2

3

(−

1

2

)n−1(n∈N*)．