已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为( ) A.(0,2-1) B.(22,1) C.(
问题描述:
已知椭圆
+x2 a2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使y2 b2
=a sin∠PF1F2
,则该椭圆的离心率的取值范围为( )c sin∠PF2F1
A. (0,
-1)
2
B. (
,1)
2
2
C. (0,
)
2
2
D. (
-1,1)
2
答
在△PF1F2中,由正弦定理得:
=PF2
sin∠PF1F2
PF1
sin∠PF2F1
则由已知得:
=a PF2
,c PF1
即:aPF1=cPF2
设点P(x0,y0)由焦点半径公式,
得:PF1=a+ex0,PF2=a-ex0
则a(a+ex0)=c(a-ex0)
解得:x0=
=a(c-a) e(c+a)
a(e-1) e(e+1)
由椭圆的几何性质知:x0>-a则
>-a,a(e-1) e(e+1)
整理得e2+2e-1>0,解得:e<-
-1或e>
2
-1,又e∈(0,1),
2
故椭圆的离心率:e∈(
-1,1),
2
故选D.