设实数a、b、c成等比数列,非零实数x、y分别为a与b,b与c的等差中项,求证:a/x+c/y=2.
问题描述:
设实数a、b、c成等比数列,非零实数x、y分别为a与b,b与c的等差中项,求证:
+a x
=2. c y
答
证明:因为a,b,c成等比数列
所以 b2=ac①
又x,y分别为a与b,b与c的等差中项
所以 2x=a+b,2y=b+c②
要证
+a x
=2c y
只要证 ay+cx=2xy
只要证 2ay+2cx=4xy
由①②得 2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc;
而4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc成立.
所以命题得证.