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过点M（2，4）作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．

分类: 作业答案 • 2022-03-22 12:54:48
问题描述：

过点M（2，4）作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．

答

由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为

x
a
+
y
b
=1（a＞0，b＞0）
∵MA⊥MB，∴
4−0
2−a
×
4−b
2−0
=-1，化简得a=10-2b．
∵a＞0，∴0＜b＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点M（2，4）到直线AB的距离为d1=
|2b+4a−ab|
a2+b2
．
又∵O点到直线AB的距离为d2=
|−ab|
a2+b2
，∵四边形OAMB的面积被直线AB平分，
∴d1=d2，∴2b+4a-ab=±ab．
又∵a=10-2b．
解得
a＝2
b＝4
或
a＝5
b＝
5
2
，
∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0．

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