已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命题正确的是
问题描述：
已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命题正确的是
A与B等价；2.A与B相似；3.若A,B为实对称矩阵,则A与B合同；4.行列式|A-2E|=|2E-A|
成立的有：A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
这是陈文灯单选题解题技巧上的一道题,选C,3和4肯定对,那么1和2中哪个正确?
答
存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价,充要条件是A与B是同型矩阵且R(A)=R(B).
相同的特征值1,2,2,所以A、B的秩都是3,A 、B都是3阶矩阵且秩相同,
所以A、B等价.
特征值相同,不一定相似,反之成立.
反例：令A不能相似于对角矩阵,那么A和其特征值构成的矩阵就不相似；
又可以举上三角形矩阵为例,上三角形矩阵的秩是主对角上的元素…….因为2是二重特征值，所以A，B的不一定相似于对角矩阵，这种情况下怎么确定A，B的秩为3？秩为多少，取决于，特征值非0的个数。如E的特征值n个1，故秩为n。