如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（ ） A.163 B.8 C.323 D.83
问题描述：
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（ ）A.
16 3
B. 8
C.
32 3
D. 8
3
答
连结BD，可得四边形ABCD的面积为
S=S△ABD+S△CBD=
AB•ADsinA+1 2
BC•CDsinC1 2
∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．
S=
AB•ADsinA+1 2
BC•CDsinC1 2
=
（AB•AD+BC•CD）sinA=1 2
（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）1 2
在△ABD中，由余弦定理可得
BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA，
同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2-2CB•CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
结合cosC=cos（180°-A）=-cosA，得64cosA=-32，解得cosA=-
，1 2
∵A∈（0°，180°），∴A=120°，
代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8
3
故选：D