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如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（　　） A.163 B.8 C.323 D.83

分类: 作业答案 • 2023-01-08 13:24:54
问题描述：

如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（　　）
A.

16
3

B. 8
C.
32
3

D. 8
3

答

连结BD，可得四边形ABCD的面积为
S=S△ABD+S△CBD=

1
2
AB•ADsinA+
1
2
BC•CDsinC
∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．
S=
1
2
AB•ADsinA+
1
2
BC•CDsinC
=
1
2
（AB•AD+BC•CD）sinA=
1
2
（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）
在△ABD中，由余弦定理可得
BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA，
同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2-2CB•CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
结合cosC=cos（180°-A）=-cosA，得64cosA=-32，解得cosA=-
1
2
，
∵A∈（0°，180°），∴A=120°，
代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8
3

故选：D

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