设三次函数f(x)的图像与x轴交于不同的三点A、B、C,且在点A、B处的切线互相平行.
问题描述：
设三次函数f(x)的图像与x轴交于不同的三点A、B、C,且在点A、B处的切线互相平行.
求证：A、B、C三点的横坐标α、Υ、β成等差数列
答
设y=ax^3+bx^2+cx=0,a0,
α、Υ、β为方程的三个根:x1,x2,x3
x1+x2+x3=-b/a
y'=3ax^2+2bx+c
由题意有:y'(x1)=y'(x2)
3ax1^2+2bx1+c=3ax2^2+2bx2+c
3a(x1^2-x2^2)+2b(x1-x2)=0
3a(x1+x2)+2b=0
x1+x2=-2b/(3a)
x3=-b/a-(x1+x2)=-b/a+2b/(3a)=-b/(3a)=(x1+x2)/2
因此x1,x3,x2成等差数列.x1+x2+x3=-b/a也是韦达定理吗？如果是能不能说一下三次方程根与系数的关系的公式呢？我只知道二次的。非常感谢！是的，韦达定理对一元N次方程都成立。对于三次方程，有：ax^3+bx^2+cx+d=0x1+x2+x3=-b/ax1x2+x1x3+x2x3=c/ax1x2x3=-d/a