已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R，若函数F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，3）上不单调，则k的取值范围为（ ）A. [-4，-2）B. （-3，-1]C. （-5，-2]D. （-5，-2）
问题描述：
已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R，若函数F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，3）上不单调，则k的取值范围为（ ）
A. [-4，-2）
B. （-3，-1]
C. （-5，-2]
D. （-5，-2）
答
因F（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，
F′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），
因F（x）在区间（0，3）上不单调，
所以F′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由F′（x）=0得k（2x+1）=-（3x2-2x+5），
∴k=-
=−3x2−2x+5 2x+1
[（2x+1）+3 4
−9 2x+1
]，10 3
令t=2x+1，有t∈（1，7），记h（t）=t+
，9 t
则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，
所以有h（t）∈[6，10），于是（2x+1）+
∈[6，10）9 2x+1
得k∈（-5，-2]，而当k=-2时有F′（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，
所以k∈（-5，-2）；
故选：D．
答案解析：因F（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，先求导数：F′（x），因F（x）在区间（0，3）上不单调，得到F′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出k，最后再利用导数求出此函数的值域即可；
考试点：利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．