如图所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且BP=BQ,BH⊥PC于H.求证:QH⊥DH.

问题描述:

如图所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且BP=BQ,BH⊥PC于H.求证:QH⊥DH.

证明:在Rt△PBC中,∵BH⊥PC,
∴∠PBC=∠PHB=90°,
∴∠PBH=∠PCB.
显然,Rt△PBC∽Rt△BHC,

BH
PB
=
HC
BC

由已知,BP=BQ,BC=DC,
BH
BQ
=
HC
CD
,∴
BH
CH
=
BQ
CD

∵∠ABC=∠BCD=90°,∠PBH=∠PCB,
∴∠HBQ=∠HCD.
在△HBQ与△HCD中,∵
BH
CH
=
BQ
CD
,∠HBQ=∠HCD,
∴△HBQ∽△HCD,
∴∠BHQ=∠DHC,
∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC.
又∵∠BHQ+∠QHC=90°,
∴∠QHD=∠QHC+DHC=90°,
即DH⊥HQ.