如图所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且BP=BQ,BH⊥PC于H.求证:QH⊥DH.
问题描述:
如图所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且BP=BQ,BH⊥PC于H.求证:QH⊥DH.
答
证明:在Rt△PBC中,∵BH⊥PC,
∴∠PBC=∠PHB=90°,
∴∠PBH=∠PCB.
显然,Rt△PBC∽Rt△BHC,
∴
=BH PB
,HC BC
由已知,BP=BQ,BC=DC,
∴
=BH BQ
,∴HC CD
=BH CH
.BQ CD
∵∠ABC=∠BCD=90°,∠PBH=∠PCB,
∴∠HBQ=∠HCD.
在△HBQ与△HCD中,∵
=BH CH
,∠HBQ=∠HCD,BQ CD
∴△HBQ∽△HCD,
∴∠BHQ=∠DHC,
∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC.
又∵∠BHQ+∠QHC=90°,
∴∠QHD=∠QHC+DHC=90°,
即DH⊥HQ.