如何证明曲线y=xe^(1/x^2)有没有水平渐近线?
问题描述：
如何证明曲线y=xe^(1/x^2)有没有水平渐近线?
答
如果lim[x-->∞,-∞,+∞]=b 则曲线y=f(x)有水平渐近线y=b;如果lim[x-->∞,-∞,+∞]不存在有限的极限值,则曲线y=f(x)没有水平渐近线.
无穷大乘上无穷小量是一个复杂的问题,一般化为无穷小比无穷小的形式或化为无穷大比无穷大的形式,利用洛必达法则求极限.
就本题而言,lim[x-->∞]xe^(1/x^2)=∞ ∴函数y=xe^(1/x^2)没有水平渐近线
∵ lim[x-->∞]f(x)/x=lim[x-->∞]e^(1/x^2)=1
im[x-->∞][xe^(1/x^2)-x]=im[x-->∞]x[e^(1/x^2)-1]=im[x-->∞][e^(1/x^2)-1]/x^(-1)
=im[x-->∞][e^(1/x^2)(-2x^(-3)]/[-x^(-2)=2im[x-->∞][e^(1/x^2)/x]=0
∴函数y=xe^(1/x^2)有斜渐近线：y=x