如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45度,E、F分别是AB、B、C的中点,则下列结论,①EF⊥BD,②EF＝ BD,③∠ADC＝∠BEF+∠BFE,④AD＝DC,其中正确的是（ ）
问题描述：
如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45度,E、F分别是AB、B、C的中点,则下列结论,①EF⊥BD,②EF＝ BD,③∠ADC＝∠BEF+∠BFE,④AD＝DC,其中正确的是（ ）
A、①②③④ B、①②③C、①②③④D、②③④
答
如下图所示：连接AC,延长BD交AC于点M,延长AD交BC于Q,延长CD交AB于P．
∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB
∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC
点D为两条高的交点,所以BM为AC边上的高,即：BM⊥AC．
由中位线定理可得EF∥AC,EF=
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AC∴BD⊥EF,故①正确．
∵∠DBQ+∠DCA=45°,∠DCA+∠CAQ=45°,
∴∠DBQ=∠CAQ,
∵∠A=∠ABC,∴AQ=BQ,
∵∠BQD=∠AQC=90°,
∴根据以上条件得△AQC≌△BQD,∴BD=AC∴EF=
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AC,故②正确．
∵∠A=∠ABC=∠C=45°
∴∠DAC+∠DCA=180°-（∠A+∠ABC+∠C）=45°
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°-∠ABC
故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；
无法证明AD=CD,故④错误．
故选B．
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