如图,抛物线y=-13x2+43x+1与y轴交于点A,对称轴交x轴于点B,连AB,点P在y轴上,点Q在抛物线上,是否存在点P和Q,使四边形ABPQ为矩形?若存在,求点Q的坐标.
问题描述:
如图,抛物线y=-
x2+1 3
x+1与y轴交于点A,对称轴交x轴于点B,连AB,点P在y轴上,点Q在抛物线上,是否存在点P和Q,使四边形ABPQ为矩形?若存在,求点Q的坐标.4 3
答
存在点P(0,-4),Q(-2,-3),使四边形ABPQ为矩形.理由如下:令x=0,则y=1,∴AO=1,∵抛物线对称轴为直线x=-432×(−13)=2,∴OB=2,∵四边形ABPQ为矩形,∴∠ABO+∠PBO=∠ABP=90°,∵∠BAO+∠ABO=90°,∴∠B...
答案解析:先令x=0,求出y的值得到AO的长度,根据对称轴解析式求出OB的长度,根据矩形的四个角都是直角可得∠ABP=90°,然后求出∠BAO=∠PBO,从而得到△AOB和△BOP相似,利用相似三角形对应边成比例求出OP的长度,再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标,然后求出点Q的坐标,再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入抛物线解析式进行验证即可.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题是二次函数综合题型,主要利用了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,中心对称的点的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征,利用中心对称求出点Q的坐标是解题的关键.