f(x)为连续偶函数 求证f（x）=定积分（x-2t)f(x)dt也为偶函数,上限为x下线为0
问题描述：
f(x)为连续偶函数 求证f（x）=定积分（x-2t)f(x)dt也为偶函数,上限为x下线为0
答
F(x)=∫[0,x] (x-2t)f(x) dt,
所以
F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(-x) dt,
由f是偶函数知f(-x)=f(x),所以
F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(x) dt.
对积分做换元s=-t,得
F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(x) dt
=∫[0,x] (-x+2s)f(x) -ds
=∫[0,x] (x-2s)f(x) ds
=∫[0,x] (x-2t)f(x) dt（积分变量可随意更换）
=F(x),
所以F(x)也是偶函数