已知函数f(x)=12x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是(  )A. m≥32B. m>32C. m≤32D. m<32

问题描述:

已知函数f(x)=

1
2
x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A. m≥
3
2

B. m>
3
2

C. m≤
3
2

D. m<
3
2

因为函数f(x)=

1
2
x4-2x3+3m,所以f′(x)=2x3-6x2
令f′(x)=0得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-
27
2

不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,
所以3m-
27
2
≥-9,解得m≥
3
2

故答案选A.
答案解析:要找m的取值使f(x)+9≥0恒成立,思路是求出f′(x)并令其等于零找出函数的驻点,得到函数f(x)的最小值,使最小值大于等于-9即可求出m的取值范围.
考试点:函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值.
知识点:考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力.