已知△OAB中,OA=OB,∠AOB=120°,以O为圆心的⊙O与AB相切于点C,⊙O与OA、OB分别交于点D、E. (1)如图(1),若AB=6,求⊙O的半径长; (2)如图(2),延长AO交⊙O于点F,求证:直线BF与⊙O

问题描述:

已知△OAB中,OA=OB,∠AOB=120°,以O为圆心的⊙O与AB相切于点C,⊙O与OA、OB分别交于点D、E.

(1)如图(1),若AB=6,求⊙O的半径长;
(2)如图(2),延长AO交⊙O于点F,求证:直线BF与⊙O相切.


(1)连接OC,
∵⊙O与AB相切,
∴OC⊥AB,
∵OA=OB,又AB=6,∠AOB=120°,
∴AC=

1
2
AB=3,∠AOC=
1
2
∠AOB=60°,
∴∠A=30°,
∴OA=2OC,
根据勾股定理得:OA2=OC2+AC2,即4OC2=OC2+9,
解得:OC=
3

则⊙O的半径为
3

(2)∵∠AOB=120°,
∴∠BOF=60°,
∴∠BOF=∠BOC,
在△BOF和△BOC中,
OF=OC
∠BOF=∠BOC
OB=OB

∴△BOF≌△BOC(SAS),
∵∠OCB=90°,
∴∠OFB=∠OCB=90°,
∴BF与圆O相切.