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设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为52，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

分类: 作业答案 • 2022-03-08 00:23:00
问题描述：

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为

5
2
，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

答

依题意，设双曲线的方程为

y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
∵e=
c
a
=
5
2
，c2=a2+b2，∴a2=4b2．
设M（x，y）为双曲线上任一点，则
|PM|2=x2+（y-5）2
=b2（
y2
a2
-1）+（y-5）2
=
5
4
（y-4）2+5-b2（|y|≥2b）．
①若4≥2b，则当y=4时，
|PM|min2=5-b2=4，得b2=1，a2=4．
从而所求双曲线方程为
y2
4
-x2=1．
②若4＜2b，则当y=2b时，
|PM|min2=4b2-20b+25=4，
得b=
7
2
（舍去b=
3
2
），b2=
49
4
，a2=49．
从而所求双曲线方程为
y2
49
-
4x2
49
=1．

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