设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为52,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.

问题描述:

设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为

5
2
,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.

依题意,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).∵e=ca=52,c2=a2+b2,∴a2=4b2.设M(x,y)为双曲线上任一点,则|PM|2=x2+(y-5)2=b2(y2a2-1)+(y-5)2=54(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).①若4≥2b,则当y=4...