正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长与侧棱长都是2，D，E分别是BB1，CC1的中点．（Ⅰ）求三棱柱ABC-A1B1C1的全面积；（Ⅱ）求证：BE∥平面ADC1；（Ⅲ）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1．

问题描述：

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长都是2，D，E分别是BB₁，CC₁的中点．

（Ⅰ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；
（Ⅱ）求证：BE∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求证：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．

答

（I）解由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且棱长均为2，
可知底面是正三角形，侧面均为正方形，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积S＝2×

×22+3×22＝12+2

．
（II）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为D，E分别是BB₁，CC₁的中点，
可知BD＝

BB1＝

CC1＝EC1，又BD∥EC₁，
所以四边形BDC₁E是平行四边形，故BE∥DC₁，
又DC₁⊂平面ADC₁，BE⊄平面ADC₁，
所以BE∥平面ADC₁．
（III）取AC中点H，连接OH、BH
∵在△ACC₁中，OH是中位线
∴OH∥ CC 1且OH＝

CC 1，结合BD∥CC₁且BD=

CC₁得四边形BDOH是平行四边形
∴BH∥OD
∵BH⊥平面ACC₁A₁
∴OD⊥平面ACC₁A₁因为OD在平面ADC₁内
∴平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长与侧棱长都是2，D，E分别是BB1，CC1的中点． （Ⅰ）求三棱柱ABC-A1B1C1的全面积； （Ⅱ）求证：BE∥平面ADC1； （Ⅲ）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1．