已知圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为43,则l的方程为(  ) A.3x-4y+20=0 B.4x-3y+15=0 C.3x-4y+20=0或x=0 D.3x-4y+20=0 或 4x

问题描述:

已知圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为4

3
,则l的方程为(  )
A. 3x-4y+20=0
B. 4x-3y+15=0
C. 3x-4y+20=0或x=0
D. 3x-4y+20=0 或 4x-3y+15=0

圆C:x2+y2+4x-12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)2=16,
∴圆心C(-2,6),半径为4.
当直线的斜率不存在时,x=0,则y=6±2

3
,此时直线被圆C截得的线段长为4
3
,满足题意;
当直线的斜率存在时,设直线方程为y=kx+5,即kx-y+5=0,
∵直线被圆C截得的线段长为4
3

∴圆心到直线的距离d=
|−2k−6+5|
k2+1
=
16−(2
3
)2

∴k=
3
4

∴l的方程为3x-4y+20=0.
综上,l的方程为3x-4y+20=0或x=0.
故选C.