老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明A,B都是n阶方阵,证明：AB与BA有相同特征值,且AB和BA的迹相同

分类: 作业答案 • 2021-12-19 10:59:14

问题描述：

老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明
A,B都是n阶方阵,证明：AB与BA有相同特征值,且AB和BA的迹相同

答

需证明：若λ是AB的特征值,则λ也是BA的特征值.分两种情况：(1)λ≠0.由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾).这说明Bx是BA的对应于特征值λ...