已知：正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,MN//AB交于OA于M,OB于N 求证：(1)BM=CN (2)CN垂直BM

1）正方形ABCD中，对角线相较于O
所以：OA=OB=OC=OD
因为：MN//AB
所以：OA-AM=OB-BN
又因为∠AOB=∠BOC=90度
所以三角形BOM全等于三角形CON
所以：BM=CN
2）把CN延长交MB于T。∠MBO=45度-∠ABM。∠TCM=45度-∠BCN。因∠ABC=∠BCN（上题已证明），所以∠MBO=∠TCM。又因为∠BMO与∠TMC重合故相等。所以∠MTC=∠MOB，而因正方形对角线互相垂直，所以∠MTC=∠MOB=90度，故CN垂直于BM。

其实好简单。（1）证：首先，因为正方形对角线相等互相平分且垂直，所以△AOB为等腰直角三角形，∠AOB为直角，∠OAB、∠OBA都等于45度。又因为MN//AB，所以△MON也是等腰直角三角形。所以MO=NO所以AM=BN。故：△AOB与△BOC全等（AB=BC，∠BAM=∠CBN=45度，QM=BN。根据SAS全等原则），所以BM=CN！
（2）证：把CN延长交MB于T。∠MBO=45度-∠ABM。∠TCM=45度-∠BCN。因∠ABC=∠BCN（上题已证明），所以∠MBO=∠TCM。又因为∠BMO与∠TMC重合故相等。所以∠MTC=∠MOB，而因正方形对角线互相垂直，所以∠MTC=∠MOB=90度，故CN垂直于BM。

只要证明三角形OBM和三角形OCN全等
略证：正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,三角形OAB是等腰直角三角形
MN//AB,所以三角形OMN是等腰直角三角形,所以OM=ON
OC=OB,所以直角三角形OBM和直角三角形OCN全等
所以BM=CN
延长CN与BM交与点G,直角三角形OBM和直角三角形OCN全等,所以∠OCN=∠OBM
因为∠OBM+∠OMB=90°,所以∠OCN+∠OMB=90°,即∠CGN=90°
CN垂直BM