选修4-1:几何证明选讲 如图,已知△ABC,过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P,与边AB,AC分别交于点M,N,且CN=2BM,点N平分AC.求证:AM=7BM.

问题描述:

选修4-1:几何证明选讲
如图,已知△ABC,过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P,与边AB,AC分别交于点M,N,且CN=2BM,点N平分AC.求证:AM=7BM.

证明:由切、割线定理,得BP2=BM•BA,CP2=CN•CA,…(5分)
∵BP=CP,∴BM•BA=2CN2
∵CN=NA=2BM,BA=BM+AM,
∴BM(BM+AM)=8BM2
∴AM=7BM,…(10分)