在等腰梯形ABCD中,∠ADC=120°,对角线AC平分∠DCB,E为BC的中点,求△DEC与四边形ABCD面积的比.

1:3

三角形DEC与平行四边形ABCD底的比为1:2，高的比为1:1，那么面积的比就是（1×1 /2）:1×2=1:4

连结AE
∵AD∥BC，AB=CD，∠ADC=120°，
∴∠B=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠ACB=30度．
∴∠CAD=30度，
∴AD=DC=AB，∠BAC=90°．∴AB=1/2BC
∵E为BC的中点，∴AE=1/2BC，∴AB=AE=BE=CE=CD=AD．
∴△ABE、△AED、△CED是全等的等边三角形．
∴△DCE与四边形ABCD面积的比为1：3

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∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠DCB，DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，
∵∠D=120°，∴∠DAC=∠DCA=30°，
又ABCD是等腰梯形，∴∠BAD= ∠D=120°，∴∠BAC=90°，
∴∠B=60°，∴AB=1/2BC，
∵E为BC的中点，∴CE=1/2BC=AE=AB=CD=AD，
∴AECD是平行四边形边，又AD=DC，∴AECD是菱形。
∴SΔDEC=SΔABE=1/3S梯形ABCD。
即SΔDEC：S梯形ABCD=1：3

∵AD∥BC,∠ADC=120°,
∴∠DCE=60度．
又∵CA平分∠DCB,
∴∠ACD=∠ACB=30度．
∴∠CAD=30度,
∴AD=DC．
∵AB=DC,
∴∠BAD=∠ADC=120°,
∴∠BAC=90度．
在Rt△ABC中,∠ACB=30°,
∴2AB=BC．
∵E为BC的中点,∴BE=AB=AD．
∴四边形ABED为菱形．
∴△DCE与四边形ABED面积的比为1：2

△DEC与四边形ABCD面积的比为1:3.